Programma di massima

– Numeri naturali, interi relativi, numeri razionali, numeri reali. Assiomatica di R. Intervalli; maggioranti e minoranti di un sottoinsieme di R, estremo superiore e inferiore, minimo e massimo. Le funzioni, definizione di funzione, composizione di funzioni. Funzioni di una variabile reale, grafico di una funzione.  Definizione di funzione iniettiva, suriettiva, funzione monotona, funzione periodica. Funzione composta e funzione inversa. Lettura del grafico di una funzione.
– Funzioni elementari: potenze, esponenziale, logaritmo, seno, coseno tangente.
– Successioni. Limite di una successione. Esempi.  Operazioni con i limiti: limite della somma, del prodotto e del rapporto; composizione.
Teoremi del confronto, permanenza del segno. Ordini di grandezza, ordine di infinitesimo e di infinito. Successioni asintoticamente equivalenti e uso nei limiti. o-piccolo. Alcuni limiti notevoli. Dimostrazione di sinx/x -> 1, per x->0.
– Limiti di Funzioni. Esempi di funzioni che non ammettono limite. Funzioni asintotiche per x tendente a un punto. Limiti notevoli e operazioni con i limiti di funzione.  Limite di funzioni composte. Relazione di asintotico tra funzioni, limiti notevoli, o-piccolo. Teoremi del confronto e permanenza segno.
– Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari (dimostrazione della continuità di sin(x) in ogni punto del suo dominio). Classificazione delle discontinuità. Estensioni continue. Teoremi con dimostrazione sulle funzioni continue (esistenza di zeri, di permanenza del segno, valori intermedi). Teorema di  Weierstrass (senza dim)
– Rapporti incrementali e derivata, descrizione geometrica.  Derivazione delle funzioni elementari. Derivata del prodotto, del quoziente, derivata della composizione di funzioni (con dim), derivata dell’inversa (no dim).  Derivate seconde.  Relazione tra derivabilità e continuità. Esempi.
– Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, Rolle e di Lagrange e interpretazioni geometriche (con dim). Convessità e continuità. Il Teorema di l’Hopital (no dim). Approssimazioni  polinomiali e formula di Taylor (al secondo ordine).
– Primitive. L’integrale indefinito. Integrazione delle funzioni elementari. Integrazione per parti (con dim), per sostituzione, integrazione delle funzioni razionali. calcolo di aree.
– Integrali definiti. Somme integrali per eccesso e per difetto. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Proprieta’ degli integrali definiti. Il teorema della media integrale. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale.
– Cenni alle equazioni differenziali. Introduzione; un modello in biologia (crescita di una popolazione biologica). Il Problema di Cauchy, esistenza e unicità delle soluzioni. Il pennello di Peano.  Equazioni diff a variabili separabili, equazioni diff lineari non omogenee del primo ordine.