Diario lezioni

– Lezione 1 (4/10): Intro. Assiomatica di R. Gli insiemi N, Z, Q e operazioni ben definite su di essi. Intervalli, sottoinsiemi superiormente/inferiormente limitati. Maggioranti, minoranti.
– Lezione 2 (8/10): Estremo superiore, inferiore. Esempi vari. Teo di completezza (senza dim). Valore assoluto di un reale e proprietà. Funzioni reali a una variabile reale.
– Lezione 3 (9/10): Composizione di funzioni. Traslazioni. Esempi. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni inverse.
– Lezione 4 (11/10): Il grafico della funzione inversa. Monotonia, inf/sup, Max/min locali e globali di funzioni. Teoremi su monotonia e iniettività, composizione di funzioni monotone, iniettive, suriettive con dimostrazioni.
– Lezione 4 (15/10): funzioni elementari e loro inverse (potenza, esponenziale, logaritmi, trigonometriche).
– Esercitazione 1 (16/10): esercitazione1
– Lezione 5 (18/10): Successioni. Definizione ed esempi. Successioni maggiorate, minorate, limitate, monotone. Limite di successioni.
– Lezione 6 (22/10): Successioni divergenti. Teoremi con dimostrazione di: unicità del limite, confronto, permanenza del segno, limite di succ. crescenti maggiorate. Teo di Bolzano-Weierstrass. Esempi vari.
– Esercitazione 2 (23/10): esercitazione2
– Lezione 7 (25/10): successioni asintoticamente equivalenti. La relazione di asintotico e le sue proprietà, esempi nel calcolo dei limiti. Dimostrazione che sin(a_n)/a_n —>1 se a_n–>0. Definizione di o-piccolo per successioni. Gerarchie di infinito rilette nell’ottica di o-piccolo.
– Lezione 8 (28/10): Intorni di un punto di R esteso, intorni bucati/anulari. Punti di accumulazione, proprietà valide definitivamente. limiti di funzioni e definizioni equivalenti. Limite nelle composizioni. Esempi.
– Lezione 9 (29/10): funzioni asintoticamente equivalenti, o-piccolo e limiti notevoli. Funzioni continue, definizione. Composizione. Classificazione dei punti di discontinuità. Esempi. Estensione di un dominio/prolungamento per continuità di una funzione.
– Esercitazione 3 (30/10): esercitazione3
– Lezione 10 (5/11): teoremi riposanti sulla continuità: teo degli Zeri, di Darboux (o dei valori intermedi), permanenza del segno (con dim). Dimostrazione che ogni polinomio di grado 3 ammette almeno una radice reale. Teo di Weierstrass (senza dim). Corollari vari ed esempi sulla necessità delle ipotesi. Limiti di funzioni monotone e teoremi su continuità e monotonia di f e la sua inversa.
Esercitazione 4 (6/11): esercitazione4
– Lezione 11 (8/11): Derivbilità. Esempi Significato geometrico. Derivabile implica continuità (con dim). Derivata funzioni composte, derivata funzione inversa. Dimostrazione delle derivate di funzioni elementari.
– Lezione 12 (12/11): Caratterizzazione funzioni monotone e costanti tramite derivate. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Significati geometrici ed esempi di applicazione.
– Esercitazione 5 (13/11): esercitazione5